CM2A1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AVANZADO

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• (Prácticas calificadas y exámenes)
• (Bibliografía)
• (Apostol, Tom “Calculus”, Volúmen 2, Segunda Edición; Editorial Reverté, S.A., 1997.) 
• (Haaser, La Salle Sullivan, Análisis Matemático, Vol. 2, Edit. Trillas.) 
• (Claudio Pita, Cálculo Vectorial, Primera Edición; Editorial Prentice Hall.) 
• (Marsden J., Tromba A., Cálculo Vectorial, Quinta Edición; Editorial Pearson.) 
• (Thomas, Cálculo varias variables, 13 Edición; Editorial Pearson, 2015.) 
• III. Funciones Vectoriales de una Variable Real.
  IV. Funciones Reales de Varias Variables.
  V. Funciones Vectoriales de Variables Vectoriales.
  VI. Integrales Múltiples
  VII. Integrales de Líneas
  VIII. Integrales de Superficies.
• 1. III. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL. / 14 HORAS
  Definición de una función vectorial de variable real f: A → ℝⁿ , A ⊂ ℝ, gráfica del rango de f y gráfica de f. Operaciones con funciones.
  Límites. Definición. Propiedades.
  Continuidad. Propiedades. Definición de curva C: r: I → ℝⁿ.
  Derivada. Vector tangente. Teoremas sobre la derivada. La diferenciabilidad.
  Integración. Propiedades. Longitud de arco. Curva Rectificable. Fórmula integral de la longitud de arco.
  Curvas parametrizadas. Curvas regulares.
  Reparametrización de curvas. La longitud de arco como parametrización. Cambio admisible de parámetro.
  Vector tangente, normal, binormal (y sus unitarios).
  Plano osculador. Plano normal. Triedo Móvil.
  Curvatura. Radio de curvatura. Centro de curvatura.
  Torsión. Fórmulas de Frenet.
• 2. IV. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE VECTORIAL. / 18 HORAS
  Definición de función real de varias variables f: A → ℝ,  A ⊂ ℝⁿ . Gráficas y rangos. Curvas de nivel, superficies de nivel. Operaciones sobre funciones. Superficies cuadráticas, superficies cilíndricas y superficies regladas.
  Limites: Propiedades.
  Continuidad: Propiedades. Teorema del valor intermedio.
  Teorema de Weierstrass f: K → ℝ, K ⊂ ℝⁿ compacto. Máximo y mínimo.
  Derivadas direccionales: Significado geométrico. Teorema de valor medio. Derivada parcial. Propiedades.
  Diferenciabilidad. Propiedades. Teorema de valor medio. Vector gradiente. Condición suficiente de diferenciabilidad. Regla de la cadena. Plano tangente y recta normal. Razón de cambio máximo.
  Funciones implícitas. Teorema de la función implícita. Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Taylor. Máximos y mínimos relativos y absolutos. Criterio de las derivadas parciales (primera derivada y segunda derivada).
• 3. V. FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLES VECTORIALES. / 12 HORAS
  Transformaciones de ℝⁿ a ℝ^m . Transformaciones afines de ℝⁿ .
  Limite. Definición: Propiedades. 
  Continuidad: Propiedades.
  La derivada y la diferencial. Propiedades. Funciones de clase C^k .
  Regla de la cadena. Transformaciones en coordenadas polares (r, θ) . Transformaciones cilíndricas (r, θ, z) y transformaciones esféricas (ρ, θ, φ) . Matriz Jacobiana. Transformaciones con Jacobianos no nulos.
  Teorema de la función inversa. Interpretación geométrica.
  Teorema de la función implícita.
• 4. VI. INTEGRALES MÚLTIPLES. / 18 HORAS
  Integrales dobles de una función acotada sobre un rectángulo en R^2 . Funciones integrales. Propiedades básicas de ∫∫[ a,b] f Integral doble de una función acotada sobre un rectángulo en R^2 . Propiedades. Evaluación de una integral doble por integrales iteradas: sobre un rectángulo y sobre una región acotada de R^2 . Cambio de variables para integrales dobles. Integrales dobles en coordenadas polares. Cálculo de áreas y volúmenes bajo una superficie y volúmenes de revolución.
  Integrales triples. Integral triple sobre un rectángulo y sobre un conjunto acotado en R3 . Propiedades. Evaluación de una integral por integrales iteradas. Cambio de variables para integrales triples. Volumen. Integrales triples en coordenadas cilíndricas. Integrales triples en coordenadas esféricas.
• 5. VII. INTEGRALES DE LÍNEAS. / 10 HORAS
  Integral de línea primer tipo (Integral de línea con respecto a la longitud de arco). Aplicaciones. Centro de gravedad.
  Integral de línea de segundo tipo. Propiedades. Comportamiento de una integral de línea frente a un cambio de parámetro. El trabajo como integral de línea. Región simplemente conexo. Región múltiplemente conexo. 
  Teorema de Green. Aplicaciones. Independencia del camino. Teoremas fundamentales del cálculo para integrales de línea.
  Condiciones necesarias y suficientes para que un campo vectorial sea un campo gradiente. Condiciones necesarias para que un campo vectorial sea un campo gradiente. Construcción de funciones potenciales.
• 6. VIII. INTEGRALES DE SUPERFICIES. / 12 HORAS
  Superficies paramétricas. Plano tangente. Plano normal. Producto vectorial fundamental.
  Área de una superficie paramétrica.
  Integral de superficie de primer tipo (Integral de Campos escalares sobre superficies). Significado físico. 
  Superficies orientables. Integral de superficies de segundo tipo (Integrales de campos vectoriales sobre superficies). 
  Teorema de Stokes. El rotacional y la divergencia de un campo vectorial. Propiedades.
  Teorema de Gauss (Teorema de la Divergencia). Aplicaciones.
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• CAPÍTULO 01: FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL:
  Conceptos Básicos: Definición de función f: R→R Dominio, Rango, Traza y Gráfica - Operaciones con funciones: Suma, diferencia, etc.- Esbozo de la traza. 
  
  Límites: Punto de acumulación y punto aislado - Definición de límite - Teoremas y propiedades - Álgebra de límites 
  Continuidad: Definición Teoremas y propiedades. 
  
  Diferenciabilidad: Definición como un límite уy como aproximación por una transformación lineal T: R -> R^n - Vector tangente - Vector velocidad - Rapidez - Recta tangente Diferenciabilidad implica continuidad - Algebra de derivadas - Teoremas y propiedades. Regla de la cadena.
  
  
  Integración: Definición - Propiedades - Teorema fundamental del cálculo - Curva rectificable - Longitud de arco o recorrido de una partícula - Teoremas y Propiedades.
  Curvas: Definición - Curvas regulares - Parametrización de una curva dada en coordenadas cartesianas - Longitud de una curva.
  
  Reparametrización de una curva: Definición Reparametrización por Longitud de arco. Propiedades intrínsecas de una curva: Vector tangente - Segunda derivada - Vector normal.
  
  Curvatura: Definición - Radio y centro de curvatura.
  Plano osculador: Definición - Vector binormal - Triedro móvil.
  Torsión: Definición- Fórmulas de Frenet.
  Plano Normal y rectificante: Definición - Interpretación.
  
  
• CAPÍTULO 02: FUNCIONES REALES DE VARIABLE VECTORIAL 
  Conceptos Básicos: Definición, Dominio, rango y gráfica — Conjuntos de nivel: Curvas y Superficies de nivel — Superficies cuádricas— Gráfica de una función f: R^2 → R usando sus conjuntos de nivel: Rectas, circunferencias, elipse, parábola, hipérbola y gráficas de funciones g: R → R — Esbozo de los conjuntos de nivel de una función f: R^3 → R, cuando estos son: plano, esfera, elipse, paraboloide, hipérboloide y gráficas de funciones g: R^2 → R Operaciones con funciones.
  
  Límites: Punto de acumulación y punto aislado en R^n — Concepto de vecindad de un punto —Definición de límite — Teoremas y propiedades — Algebra de límites.
  Continuidad: Definición — Propiedades. — Teoremas y propiedades. 
  
  Teorema de Weirstrass: Conjuntos con borde y acotados (compactos) — Teorema de Weirstrass (Extremos de una función continua definida en un conjunto con borde y acotado).
  Derivadas direccionales: Definición de derivada direccional — Derivada Parcial — Significado geométrico — Teoremas y Propiedades.
  
  
  Diferenciabilidad: Definición de diferenciabilidad en un punto — Definición de la derivada en un punto — Condición suficiente y necesaria de diferenciabilidad — Teoremas y Propiedades — Diferenciabilidad de una suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones. 
  Superficies: Como gráfica de funciones 𝑓: 𝑅^2 → 𝑅, respectivamente. 
  
  Teorema del valor medio. Regla de la cadena: De las composiciones 𝑅^2 → 𝑅 → 𝑅 y 𝑅 → 𝑅^2 → 𝑅. Gradiente: Definición — Razón de cambio máximo — Diferencia entre gradiente y derivada en un punto. Sup: Como pre imágenes de puntos regulares de funciones 𝑓: 𝑅^2 → 𝑅 y 𝑓: 𝑅^3 → 𝑅, respectivamente. Plano tangente: Recta tangente y recta normal a una curva — Plano tangente y plano normal a una superficie de nivel (asociada a puntos regulares). 
  
  Teorema de la función implícita: Definición de funciones definidas implícitamente — Definición de un sistema de ecuaciones lineales y no lineal — Teorema de la función Implícita para una función 𝑓: 𝑅^2 → 𝑅. — Teorema de la función Implícita para una función 𝑓: 𝑅^3 → 𝑅.— Teorema de la función Implícita para una función 𝑓: 𝑅^𝑛 → 𝑅. 
  
  
  Teorema de Schwartz: Derivada parciales de orden superior — Funciones de clase 𝐶^𝑛 — Enunciado del teorema.
  Teorema de Taylor: Polinomio de Taylor de grado dos, tres y grado n — Teorema de Taylor — Hessiano.
  
  Extremos de una función definida en un conjunto abierto: Máximos y mínimos de una función — Criterio de las derivadas parciales: Hessiano — Teorema de silvester (criterio de los autovalores)
  
  Extremos de una función definida en un conjunto no abierto: Máximos y mínimos de una función definida en un conjunto que no es abierto sino cerrado.
  Multiplicadores de Lagrange: Puntos críticos de una función sujeta a una restricción — Enunciado del teorema para una función 𝑓: 𝑅^2 → 𝑅, restringida a una curva. — Enunciado del teorema para una función 𝑓: 𝑅^3 → 𝑅, restringida a una superficie.
  
  
• CAPÍTULO 03: FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL: 
• CAPÍTULO 04: INTEGRALES MÚLTIPLES: 
• CAPÍTULO 05 INTEGRAL LINEAL: 
• Conceptos básicos: definición —
  Definición de una función vectorial de variable real f: A → ℝⁿ , A ⊂ ℝ, gráfica del rango de f y gráfica de f. Operaciones con funciones.
  Límites. Definición. Propiedades. Continuidad Propiedades. Definición de curva C: r:I → ℝn . Derivada. Vector tangente. Teoremas sobre la derivada. La diferenciabilidad. Integración. Propiedades. Longitud de arco. Curva Rectificable. Fórmula integral de la longitud de arco. Curvas parametrizadas. Curvas regulares. Reparametrización de curvas. La longitud de arco como parametrización. Cambio admisible de parámetro. Vector tangente, normal, binormal (y sus unitarios). Plano osculador. Plano normal. Triedo Móvil. Curvatura. Radio de curvatura. Centro de curvatura. Torsión. Fórmulas de Frenet.

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