- (SESIÓN 1)
- (definiciones básicas)
- (def 1: función vectorial de variable real , dominio)
- (obs 1: funciones coordenadas)
- (def 2: traza , gráfica)
(obs 2)
(ejm 1)
(ejm 2)
(ejm 3, obs 3)
- (operaciones con funciones)
- (dominio de las operaciones de funciones)
- (operaciones de funciones)
(ejm 4)
(ejm 5)
- (SESIÓN 2)
- (límites)
- (def 3: límites)
- (obs 1)
(ejm 2)
- (teorema 1)
- (obs 2)
- (álgebra de límites)
- (continuidad)
- (def 4: continua)
- (proposición 1)
- (teorema 4)
(obs 3)
(obs 4)
(obs 5)
- (SESIÓN 3)
- (funciones ℝ en ℝn )
- (def 1: función vectorial o curva)
- (def 2: vector tangente)
(ejm 1)
- (def 3: función diferenciable en un punto)
(ejm 2)
- (teorema 1)
- (def 4: rapidez , recta tangente)
- (teorema 2)
(ejm 3)
- (SESIÓN 4)
- (definiciones básica)
- (def 1: partición)
- (def 2: Riemman integrable)
- (proposición 1)
- (proposición 2)
- (proposición 3)
(ejm 1)
- (teorema 1: fundamental del cálculo)
- (curvas rectificables)
- (def 3: recorrido lineal)
- (def 4: recorrido finito o rectificable)
- (def 5 recorrid)
- (teorema 2)
(ejm 2)
(ejm 3)
- (curvas regulares)
- (def 6: camino y curva)
(obs 1)
(ejm 4)
(ejm 5)
- (SESIÓN 5)
- (reparametrización de una curva)
- (ejm 1)
(ejercicio 1)
- (def 1: parametrización)
- (def 2: orientación)
(ejm 2)
- (teorema 1)
- (reparametrización por longitud de arco)
- (proposición 1)
- (proposición 2)
- (obtención del parámetro de una curva a partir de la longitud de arco)
()
(ejm 3)
- (SESIÓN 6)
- (triedro de Fernet)
- (def 1: )
- (def 2)
(obs 1)
(obs 2)
(ejercicio 1)
- (curvatura)
- (def 3: curvatura)
(obs 3; def 4)
(obs 4)
- (torsión)
- (def 5)
(obs 5)
(obs 4)
(obs 6)
- (proposición 1)
(obs 7)
- ()
- (sesión 1)
- 1. Identificar una función vectorial
- (dominio)
- 2. Reconocer dominio y codominio
- 3. Dominio cuando hay varias restricciones
- (rango)
- 4. Calcular valores de una función vectorial
- (traza)
- 5. Dominio, rango y traza
- 6. ⭐ Diferenciar dominio, rango y traza
- (esbozo de la traza)
- 7. Esbozo de una traza
- 8. Traza en R^3: recta
- 9. Traza de una circunferencia en R^3
- (operaciones)
- 10. Operaciones con funciones vectoriales
- 11. Producto vectorial
- 12. Combinación de operaciones
- (parametrización)
- 13. Encontrar una función vectorial a partir de una curva
- 14. Encontrar una parametrización de una recta
- 15. Problema de interpretación geométrica
- (mixtos)
- 16. Ejercicio tipo examen: análisis completo
- 17. Ejercicio conceptual: ¿misma traza?
- 18. Ejercicio conceptual: misma curva, distinta orientación
- 19. Ejercicio de reconocimiento rápido
- 20. Problema final tipo examen ⭐⭐⭐
- Lo que deberías ser capaz de hacer
- Las 5 ideas que no debes confundir
- (sesión 2: Límites y continuidad de funciones vectoriales de variable real, conviene dominar una colección de ejercicios que cubra tanto la teoría como los cálculos típicos de examen.)
- (topología)
- 🟢 TIPO 1 — Identificar punto de acumulación y punto aislado
- (límites)
- 🟢 TIPO 2 — Reconocer cuándo existe un límite
- 🟢 TIPO 3 — Límite con una indeterminación
- (álgebra de límites)
- 🟢 TIPO 4 — Usar directamente el álgebra de límites
- 🟢 TIPO 5 — Producto escalar de funciones vectoriales
- 🟢 TIPO 6 — Producto de una función escalar por una vectorial
- 🟢 TIPO 7 — Cociente de funciones vectoriales
- (límites 2)
- 🟢 TIPO 8 — Un límite que NO existe
- 🟢 TIPO 9 — Límite infinito / componente problemática
- (continuidad)
- 🟢 TIPO 10 — Continuidad en un punto
- 🟢 TIPO 11 — Continuidad por componentes
- 🟢 TIPO 12 — Función definida por partes
- 🟢 TIPO 13 — Detectar discontinuidad removible
- (propiedades)
- 🟢 TIPO 14 — Continuidad mediante teoremas
- 🟢 TIPO 15 — Usar continuidad para calcular un límite
- 🟢 TIPO 16 — Teorema de la norma
- 🟢 TIPO 17 — Encontrar un límite usando la norma
- (mixtos)
- 🔴 TIPO 18 — Pregunta conceptual de verdadero/falso
- 🟣 TIPO 19 — Problema completo de examen
- (bonus)
- (sesión 3: conviene dominar no solo ejercicios de derivación mecánica, sino también problemas donde tengas que reconocer qué significa la derivada geométricamente, demostrar diferenciabilidad mediante la definición y usar la regla de la cadena.)
- (diferenciabilidad)
- 1. EJERCICIO BÁSICO: calcular la derivada de una función vectorial
- (definición formal mediante límites)
- 2. EJERCICIO DE DEFINICIÓN MEDIANTE LÍMITE
- 3. EJERCICIO: demostrar diferenciabilidad usando las componentes
- 4. EJERCICIO: diferenciabilidad implica continuidad
- 5. EJERCICIO CLÁSICO: continua pero no diferenciable
- (aproximación por una transformación lineal T: R \to R)
- 6. APROXIMACIÓN LINEAL / TRANSFORMACIÓN LINEAL T
- 7. EJERCICIO DE APROXIMACIÓN LINEAL
- (interpretación geométrica y cinemática)
- (elementos geométricos)
- 8. PROBLEMA: encontrar el vector tangente
- 9. PROBLEMA: recta tangente
- (aplicaciones físicas (cinemática))
- 10. VECTOR VELOCIDAD Y RAPIDEZ
- 11. PROBLEMA DE VELOCIDAD Y RAPIDEZ
- 12. DIFERENCIA ENTRE VELOCIDAD Y RAPIDEZ
- (álgebra de derivadas)
- 13. ÁLGEBRA DE DERIVADAS
- 14. EJERCICIO DE REGLAS DE DERIVACIÓN
- 15. EJERCICIO DE PRODUCTO ESCALAR
- 16. EJERCICIO CLAVE: derivada de |r(t)|^2
- 17. PROBLEMA DE INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
- (regla de la cadena)
- 18. REGLA DE LA CADENA: CASO MÁS BÁSICO
- 19. EJERCICIO DE REGLA DE LA CADENA
- 20. REGLA DE LA CADENA CON DOS FUNCIONES VECTORIALES
- 21. REGLA DE LA CADENA: PROBLEMA MÁS COMPLETO
- (mixtos)
- 22. PROBLEMA: REGLA DE LA CADENA + VELOCIDAD
- 23. PROBLEMA: ¿CUÁNDO ES LA VELOCIDAD CERO?
- 24. PROBLEMA: ENCONTRAR LA RECTA TANGENTE A PARTIR DE UN PUNTO
- 25. PROBLEMA CON CONCEPTO DE APROXIMACIÓN
- 26. PROBLEMA TEÓRICO TIPO VERDADERO/FALSO
- 27. PROBLEMA INTEGRADOR TIPO EXAMEN
- 28. EJERCICIO MÁS DIFÍCIL: PROBAR UNA IDENTIDAD MEDIANTE DERIVACIÓN
- 29. EJERCICIO DE REGLA DE LA CADENA + PRODUCTO
- (Lo que deber saber sí o sí)
- (sesión 4)
- PARTE I — INTEGRACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES
- Ejercicio 1 — Integración componente a componente
- Ejercicio 2 — Integral definida
- Ejercicio 3 — Integral con funciones trigonométricas
- PARTE II — PROPIEDADES DE LA INTEGRAL
- Ejercicio 4 — Usar propiedades sin integrar directamente
- PARTE III — TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
- Ejercicio 5 — Aplicación directa del TFC
- Ejercicio 6 — TFC con límite superior complicado
- Ejercicio 7 — Encontrar una función vectorial a partir de su derivada
- PARTE IV — CURVAS Y PARAMETRIZACIÓN
- Ejercicio 8 — Identificar la curva a partir de una parametrización
- Ejercicio 9 — Parametrizar una curva cartesiana
- Ejercicio 10 — Parametrizar una circunferencia
- Ejercicio 11 — Parametrización de una recta
- PARTE V — CURVAS REGULARES
- Ejercicio 12 — Determinar si una curva es regular
- Ejercicio 13 — Curva regular en todo el intervalo
- PARTE VI — LONGITUD DE ARCO
- Ejercicio 14 — Longitud de una recta
- Ejercicio 15 — Longitud de una circunferencia
- Ejercicio 16 — Longitud de una parábola
- Ejercicio 17 — Longitud en R^3
- PARTE VII — RECORRIDO DE UNA PARTÍCULA
- Ejercicio 18 — Distancia recorrida
- Ejercicio 19 — Recorrido cuando la rapidez es constante
- PARTE VIII — PROBLEMAS QUE COMBINAN VARIOS CONCEPTOS
- Ejercicio 20 — Parametrización + regularidad + longitud
- Ejercicio 21 — Encontrar una parametrización y luego la longitud
- Ejercicio 22 — Longitud mediante la fórmula cartesiana
- PARTE IX — PROBLEMA CON TRAMPA CONCEPTUAL
- Ejercicio 23 — ¿La longitud depende de la parametrización?
- PARTE X — TIPO TEÓRICO
- Ejercicio 24 — Verdadero o falso
- PARTE XI — EL PROBLEMA MÁS COMPLETO DE LA SESIÓN
- Ejercicio 25 — Tipo examen
- (Lo que debes saber sí o sí)
(ejm
)
- (sesión 5)
- (parametrización de una curva)
- 1. Ejercicio básico: reconocer una reparametrización
- 2. Ejercicio de reparametrización que invierte la orientación
- (reparametrización por longitud de arco)
- 3. Ejercicio clásico: hallar la longitud de arco
- 4. Ejercicio fundamental: reparametrización por longitud de arco
- 5. Ejercicio importantísimo: círculo → longitud de arco
- 6. Ejercicio: detectar si una parametrización YA está dada por longitud de arco
- 7. Ejercicio: parametrización por longitud de arco de una parábola
- (propiedades intrínsecas a una curva)
- (elementos del triedro de Frenet-Serret)
- 8. Ejercicio fundamental: vector tangente unitario
- 9. Ejercicio: tangente unitario de una circunferencia
- 10. Ejercicio muy importante: hallar el vector normal
- (análisis de derivadas vectoriales)
- 11. Ejercicio: calcular r', r'', T y N
- 12. Ejercicio conceptual: ¿ r'' es el vector normal?
- 13. ¿Por qué r'' no es necesariamente normal?
- 14. Ejercicio para comprobar esa idea
- (mixtos)
- 15. Ejercicio completo de examen
- 16. Ejercicio conceptual de verdadero/falso
- 17. Ejercicio de identificar el error
- 18. Ejercicio de conexión entre longitud de arco y tangente
- 19. Ejercicio avanzado: obtener N usando longitud de arco
- 20. El ejercicio que debes poder hacer sin ayuda
- (lo que debes saber hacer sí o sí)
- (sesión 6)
- PARTE I — CURVATURA
- Problema 1. Curvatura de una parábola
- Problema 2. Curvatura de una circunferencia
- Problema 3. Encontrar el radio de curvatura
- PARTE II — CENTRO DE CURVATURA
- Problema 4. Encontrar el centro de curvatura de una parábola
- PARTE III — VECTOR BINORMAL
- Problema 5. Hallar T,N,B
- Problema 6. Verificar que el triedro es ortonormal
- PARTE IV — PLANO OScULADOR
- Problema 7. Encontrar el plano osculador
- Problema 8. Identificar los tres planos de Frenet
- PARTE V — TORSIÓN
- Problema 9. Calcular la torsión de una hélice
- Problema 10. Torsión de una curva plana
- PARTE VI — FÓRMULAS DE FRENET
- Problema 11. Usar Frenet para hallar T'
- Problema 12. Usar Frenet para hallar B'
- Problema 13. Reconocer qué fórmula de Frenet usar
- PARTE VII — PLANO NORMAL
- Problema 14. Encontrar el plano normal
- PARTE VIII — PLANO RECTIFICANTE
- Problema 15. Encontrar el plano rectificante
- PARTE IX — INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
- Problema 16. Pregunta conceptual típica
- Problema 17. ¿Qué significa una curvatura grande?
- PARTE X — INTERPRETACIÓN DE LA TORSIÓN
- Problema 18. Comparar dos curvas
- PARTE XI — PROBLEMA INTEGRADOR
- PARTE XII — PROBLEMA DE RELACIÓN ENTRE TODO
- (
)
(funciones ℝ en
ℝn )
(def 1)
(def 2)
(ejm 1)
(def 3)
(ejm 2)
(teorema 1)
(def 4: rapidez , recta tangente)
(teorema 2)
(ejm 3)
(definiciones básicas)
(def 1: función)
(obs 1)
(def 2: traza)
(ejm 1)
(ejm 2)
(ejm 3)
(operaciones con funciones)
(ejm 4)
(ejm 5)
(límites)
(def 1: punto de acumulación)
(ejercicio 1)
(ejm 1)
(límites)
(def 3: límites)
(obs 1)
(ejm 2)
(teorema 1)
(obs 2)
(álgebra de límites)
(teorema 2)
(teorema 3)
(continuidad)
(def 4: continuidad)
(proposición 1)
(teorema 4)
(obs 3)
(obs 4)
(obs 5)
(funciones ℝ en ℝn )
(def 1)
(def 2)
(ejm 1)
(def 3)
(ejm 2)
(teorema 1)
(def 4: rapidez , recta tangente)
(teorema 2)
(ejm 3)
(definiciones básicas)
(def 1: partición)
(def 2: Riemman integrable)
(proposición 1)
(proposición 2)
(proposición 3)
(ejm 1)
(teorema 1: fundamental del cálculo)
(curvas rectificables)
(def 3)
(def 4)
(def 5)
(teorema 2)
(ejm 2)
(ejm 3)
(curvas regulares)
(def 6)
(obs 1)
(ejm 4)
(ejm 5)
(reparametrización de una curva)
(ejm 1)
(ejercicio 1)
(def 1: parametrización)
(def 2)
(ejm 2)
(teorema 1)
(reparametrización por longitud de arco)
(proposición 1)
(proposición 2)
(ejm 3)
(triedro de Fernet)
(def 1: )
(def 2)
(obs 1)
(obs 2)
(ejercicio 1)
(curvatura)
(def 3: curvatura)
(obs 3; def 4)
(obs 4)
(torsión)
(def 5)
(obs 5)
(obs 4)
(obs 6)
(proposición 1)
(obs 7)
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