Preguntas teóricas de geometría en el espacio

POSTULADOS Y DEFINICIONES 
1. El exterior de un plano se denomina semiespacio. 
• F (el exterior de un plano son dos semiespacios separados por el plano) 
2. El exterior de un recta son dos semiplanos.
• F (el exterior de una recta son todos los puntos del espacio menos los puntos de la recta. No generan semiplanos) 
3. Tres rectas concurrentes en un punto son coplanares. 
• F (pueden estar contenidas en planos distintos como el sistema cartesiano de tres dimensiones)
DETERMINACIÓN DE UN PLANO 
4. Tres puntos determinan un plano. 
• F (los puntos tienen que ser no colineales)
5. Tres puntos colineales determinan un plano. 
• F (solo determinan un plano si son no colineales)
6. Tres puntos cualesquiera pertenecen a un único plano.
• F (solo pertenecerán a un único plano si son no colineales)
7.  Cuatro puntos determinan un máximo de 4 planos. 
• V
8. Un punto y una recta determinan un plano. 
• F (determinarían un plano si el punto es exterior a la recta)
9. Dos rectas determinan un plano. 
• F (las rectas deben ser secantes o paralelas y no lo indica)
10.  Dos rectas cruzadas determinan un plano. 
• F (no es posible)
11. Dos rectas no paralelas determinan un plano. 
• F (podrían ser cruzadas y no podrán determinar un plano)
12. Dos rectas no secantes determinan un plano. 
• F (podrían ser cruzadas y no podrán determinar un plano)
13. Dos rectas secantes determinan un plano. 
• V
14. Dos rectas cruzadas están contenidas en un plano. 
• F (dos rectas cruzadas no pueden estar contenidas en un mismo plano)
15. Dos rectas secantes y un punto son coplanares. 
• F (cada recta y el punto dado pueden determinar dos planos distintos)
POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS Y PLANOS 
16. Un plano y una recta perpendiculares a una misma recta son paralelos.
• F (el recta puede estar contenida en el plano)
17. Si tres rectas son paralelas entre sí, el plano determinado por dos de ellas será paralelo al tercero. 
• F (las tres rectas podrían ser coplanares)
18. Si una recta es paralela a un plano, la intersección de todo plano que contiene a la recta con el plano dado es paralela a dicha recta. 
• V
19. SI una recta es perpendicular a la intersección de dos planos perpendiculares, entonces puede estar contenida en uno de los planos. 
• V
20. Toda recta paralela a dos planos secantes será paralela a la intersección de esos planos. 
• V
21. Si dos rectas se cruzan, por una de ellas puede pasar un único plano paralelo a la otra recta.
• V 
22. Si una recta no es paralela a un plano, la intersección de dicha recta con el plano es un punto. 
• F (la recta podría estar contenida en el plano y su intersección seria la misma recta)
23. Una recta paralela a un plano es paralela a todas las rectas del plano. 
• F (es también cruzada con otras rectas contenidas en el plano)
24. Dos rectas son paralelas a un plano P, entonces el plano que contiene a dichas rectas será siempre paralelo al plano P. 
• F (el plano que contiene a las rectas puede ser secante al plano)
25. Dos planos disjuntos son paralelos. 
• V
26. La intersección de dos planos secantes es una recta. 
• V
27. La intersección de tres planos puede ser un punto. 
• V
28. Si un conjunto de rectas son paralelas, necesariamente dichas rectas son coplanares. 
• F (cada dos rectas podrían determinar un plano distinto de otros)
29. Todo plano perpendicular a una recta contenida en un plano, es perpendicular a dicho plano. 
• V
30. Dos planos paralelos a un tercer plano son paralelos entre sí. 
• V
31. Dos planos perpendiculares a una misma recta son paralelos entre sí. 
• V
32. Si dos planos son paralelos a una misma recta, entonces dichos planos son paralelos. 
1. F (los planos pueden ser secantes y paralelos a la recta)
33. Dos rectas paralelas a un plano, son paralelas entre sí. 
1. F (podrían ser secantes o cruzadas)
34. Si una recta es paralela a uno de dos planos secantes, entonces lo será necesariamente al otro. 
1. F (podría ser secante al otro plano)
35. Dos rectas cruzadas pueden estar contenidas en planos paralelos. 
1. V
36. Toda recta perpendicular a dos rectas de un plano, es perpendicular al plano. 
1. F (si las rectas del plano son paralelas entre si habrán muchas rectas perpendiculares a dichas paralelas pero no perpendiculares al plano)
37. Por un punto exterior a un plano se pueden trazar infinitas rectas paralelas al plano. 
• V
38. Si una recta es perpendicular a otras tres rectas dadas, las rectas dadas necesariamente tienen que estar en un mismo plano que contenga a la perpendicular. 
• F (las tres rectas podrían ser cruzadas)
39. La intersección de tres planos es siempre una recta. 
• F (si fueran paralelos su intersección seria el vacío)
40. Dos rectas contenidas en planos paralelos son rectas paralelas entre sí. 
• F (las rectas pueden ser cruzadas)
41. Si dos planos son paralelos, las intersecciones de estos planos con un tercer plano son paralelas entre sí. 
• V
42. Si las medidas de los ángulos entre una recta y dos planos son iguales, entonces dichos planos son paralelos. 
• F (los planos podrían ser secantes)
43. Por un punto del plano, se puede trazar sólo una recta perpendicular al plano. 
• V
44. Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas entre sí. 
• V
45. Dos rectas que no se intersectan son paralelas. 
• F podrían ser cruzadas
46. Todo plano perpendicular a dos planos secantes, es perpendicular a la intersección de dichos planos. 
• V
47. Si una recta es paralela a dos planos secantes, entonces es paralela a la intersección.
• V 
48. L1 y L2 son rectas paralelas, si L3 es perpendicular a L1, entonces L3 es perpendicular a L2. 
• V
49. La distancia entre dos rectas paralelas situadas en planos paralelos es igual a la distancia entre los planos. 
• F (la distancia entre las rectas paralelas puede ser mayor que la distancia entre los planos)
50. Si dos rectas son oblicuas a un plano, es siempre posible trazar un plano que contenga dichas rectas. 
• F (las rectas podrían ser cruzadas)
51. P y Q son dos planos paralelos, si la recta L es secante a P, entonces L interseca a Q. 
• V
52. L es una recta perpendicular a un plano P, entonces toda recta secante a L es secante a P. 
• F (la recta secante a L podría ser paralela a P)
53. Si dos rectas son cruzadas, entonces pueden ser perpendiculares a un mismo plano. 
• F (solo una podría ser perpendicular a un plano, la otra podría ser secante simplemente o paralela)
DISTANCIA ENTRE RECTAS 
54. La distancia entre dos rectas cruzadas contenidas en planos paralelos es la distancia entre dichos planos 
• V
55.  La distancia entre dos rectas cruzadas es la distancia entre un punto de una de las rectas y un plano que contiene a la otra recta. 
• F (el plano puede ser secante a la otra recta y no tendría sentido hablar de distancia)
56. Dadas dos rectas cruzadas, entonces existe una única recta perpendicular a ambas. 
• F (hay infinitas rectas perpendiculares a dos rectas cruzadas)
SOBRE LOS POSTULADOS Y TEOREMAS 
57. Si una recta es perpendicular a un plano, todo plano que contiene a dicha recta es perpendicular al primer plano. 
• V
58. Si dos rectas determinan ángulos congruentes con un plano, entonces dichas rectas son paralelas. 
• F (dichas rectas pueden ser cruzadas)
59. Si una recta es perpendicular a una recta contenida en un plano, entonces es perpendicular al plano. 
• F (dicha recta podría estar contenida en el plano y ser perpendicular a la recta contenida en el plano)
60. Si una recta es perpendicular a un plano, entonces es perpendicular a toda recta contenida en dicho plano. 
• V
61. En el teorema de las tres perpendiculares, la segunda y tercera perpendicular son rectas perpendiculares entre sí. 
• F (ello se da solo entre la primera y la segunda perpendiculares)
62. El teorema de Thales en el espacio se cumple para 3 o más planos paralelos. 
• V
63. La medida del ángulo entre una recta oblicua y un plano, es el ángulo que determina dicha recta y su proyección sobre el plano. 
• V
PROYECCIÓN ORTOGONAL 
64. La proyección de una esfera sobre un plano es un círculo. 
• V
65. Las proyecciones ortogonales de dos rectas paralelas sobre un plano, son dos rectas paralelas.
• F (podrían ser dos puntos o una sola recta) 
66. Las proyecciones ortogonales de dos rectas perpendiculares sobre un plano, forman un ángulo agudo. 
• F (si las rectas son paralelas al plano, sus proyecciones serian perpendiculares)
67. Si la proyección ortogonal de un cuadrado sobre un plano es otro cuadrado, entonces dicho plano y el plano que contiene al cuadrado son paralelos. 
• V
68. Las proyecciones ortogonales de dos rectas cruzadas sobre un plano, son dos rectas paralelas. 
• F (podrían ser dos rectas secantes o un punto con una recta)
69. La proyección ortogonal de una recta sobre un plano es una recta. 
• F (podría ser un punto)
70. La proyección de una región triangular sobre un plano es otra región triangular. 
• F (si el plano que contiene a la región triangular es perpendicular a su plano de proyección, su proyección será un segmento)
71. Si una región poligonal está contenida en un plano perpendicular al plano de proyección, entonces la proyección es un segmento. 
• V
72. El área de la proyección ortogonal de una región poligonal sobre un plano no perpendicular al plano que contiene a la región poligonal, es igual al área de la región poligonal por el coseno de la medida del ángulo diedro determinados por dichos planos. 
• V
73. La proyección ortogonal de una región cuadrada sobre un plano P, es una región paralelográmica. 
• F (si el plano que contiene a la región cuadrada es perpendicular a su plano de proyección, su proyección será un segmento)
74. La proyección ortogonal de una recta oblicua a un plano, sobre dicho plano es otra recta. 
• v
75. Si un segmento de recta se proyecta en un plano P, entonces la proyección, es un punto o un segmento de menor longitud o congruente al segmento dado.  
• F (si el plano que contiene a la región cuadrada es perpendicular a su plano de proyección, su proyección será un segmento)
RESPUESTAS 
76. Cuatro puntos no colineales tres a tres determinan un plano. (PC 5 -2019 - 1)
• F. (Cuatro puntos pueden determinar hasta 4 planos)
77. Dos rectas que no se intersecan son paralelas. (PC 5 -2019 - 1), (PC 5 - 2016 - 2)
• F. (Dos rectas que no se intersecan pueden ser cruzadas) (Las rectas pueden ser cruzadas)
78. Si un plano interseca a dos planos paralelos, entonces su intersecciones son rectas paralelas. (PC 5 -2019 - 1)
• V
79. Una recta que es perpendicular a infinitas rectas de un plano P es perpendicular al plano P. (PC 5 - 2016 - 2)
• F. (Una recta es perpendicular a una plano si es perpendicular a dos rectas distintas de dicho plano)
80. Si la recta L está contenida en un plano P₁ y es paralela a otro plano P₂ entonces P₁ // P₂. (PC 5 - 2016 - 2)
• F. (Dos planos son paralelos si uno de ellos contiene dos rectas secantes y paralelas al otro plano)
81. La proyección ortogonal de una recta sobre un plano es otra recta. (PC 5 -2017 - 1)
82. La proyección ortogonal de una región cuadrada contenida en un plano, sobre otro plano no ortogonal al primero es una región paralelográmica. (PC 5 -2017 - 1)
83. Si las proyecciones ortogonales de un segmento dado sobre dos planos son congruentes, entonces dichos planos son paralelos. (PC 5 -2017 - 1)
84. Si la recta L es paralela a un plano P, entonces es paralela a cualquier recta contenida en el plano P. (PC 5 - 2017 - 2)
• F. (No necesariamente)
85. Si la recta L es perpendicular a un plano P, entonces L es perpendicular a cualquier recta contenida en el plano P. (PC 5 - 2017 - 2)
• V
86. Dos rectas que no se intersecan son rectas cruzadas. (PC 5 - 2017 - 2)
• F (Pueden ser paralelas)
87. Si tres rectas se intersecan en un punto, entonces las rectas siempre son coplanares. (PC 5 - 2018 - 1)
• F
88. Si tres rectas son paralelas, entonces las rectas siempre son coplanares. (PC 5 - 2018 - 1)
• F
89. Si un plano es perpendicular a la arista de un ángulo diedro, entonces dicho plano es perpendicular a las caras del diedro. (PC 5 - 2018 - 1)
• V. (Por teorema) [PREGUNTAR A PROFE]
90. Dos rectas paralelas a un plano son coplanares. (PC 5 - 2018 - 2)
• F. (Pueden ser cruzadas) [Preguntas al profe]
91. Si dos rectas determinan ángulos congruentes con un plano, entonces dichas rectas son secantes. (PC 5 - 2018 - 2)
1. F. (Pueden ser cruzadas)
92. Toda recta exterior a un plano es paralela a dicho plano. (PC 5 - 2018 - 2)
1. V
93. Dos rectas cruzadas determinan un plano. (Segundo parcial básico 2016 - 1)
94. Si dos rectas cualesquiera son paralelas a un plano, entonces las rectas son paralelas entre si. (Segundo parcial básico 2016 - 1)
95. Una recta y un plano determinan un plano. (Segundo parcial básico 2016 - 1)
96. Si dos rectas no se interseca, entonces son paralelas. (13-181)
97. Si una recta es paralela a un plano, entonces está recta no interseca a dicho ángulo. (13-181)
98. Si una recta está contenida en un plano, entonces cualquier recta perpendicular a ella será secante al plano. (13-181)
99. Si dos rectas tienen un solo punto en común con un plano, entonces dichas rectas determinan un plano secante al plano dado. (17-181)
100. El ángulo que determina una recta con un plano es un ángulo agudo. (17-181)
101. Si una región cuadrangular es secante a un plano, entonces la intersección es un conjunto convexo. (17-181)
102. La intersección de dos planos en un conjunto no convexo. (18-181)
103. Si dos rectas son paralelas son paralelas a un plano, entonces dichas rectas determinan un plano. (18-181)
104. La intersección de tres planos es una recta. (18-181)
105. Dos rectas cruzadas determina un plano. (21-181)
106. Si las rectas L₁ y L₂ son paralelas a otras dos rectas cruzadas, entonces L₁ y L₂ determinan un plano. (21-181)
107. Si las proyecciones de dos rectas cruzadas L₁ y L₂ sobre un plano son rectas paralelas, entonces la distancia entre las paralelas es igual a la distancia entre L₁ y L₂. (21-181)
108. Si P₁ y P₂ se intersecan y L es una recta contenida en P₂, entonces la proyección de cualquier punto de L sobre P₁ pertenece a P₂. (26-181)
109. Si P₁ y P₂ se intersecan perpendicularmente y L es una recta contenida a P₂, entonces la proyección de cualquier punto de L sobre P pertenece a P₂. (26-181)
110. Si P₁ y P₂ son paralelas y L es una recta que interseca a ambos planos, entonces las proyecciones de los puntos de L sobre P₁ y P₂, están contenidos en un plano perpendicular a P₁ y P₂. (26-181)
111. El conjunto de puntos que equidistan de dos puntos fijos determinan un plano. (27-181)
112. En el espacio, dos rectas paralelas son aquellas que no se intersecan. (27-181)
113. Se puede trazar un plano que sea equidistante de 4 puntos fijos y no coplanares. (27-181)
114. 3 puntos siempre son no coplanares. (17-182)
115. 2 rectas siempre so no coplanares. (17-182)
116. Si 3 puntos son coplanares entonces no es posible trazar otro plano que los contenga. (17-182)
117. Cuatro puntos determinan un máximo de 4 planos. (18-182)
118. Toda recta exterior a un plano y paralela a una recta del plano, es paralela a dicho plano. (18-182)
119. Si una recta es paralela a un plano, entonces es paralela a cualquier recta del plano. (18-182)
120. Si una recta es perpendicular a un plano, todo plano que pasa por ella es perpendicular al primero. (20-182)
121. Si una recta es tangente a una circunferencia, la recta es perpendicular al diámetro en su punto de contacto. (20-182)
122. La proyección ortogonal de una recta sobre un plano no perpendicular a ella es otra recta. (20-182)
123. Todos los planos paralelos a una recta son paralelos entre sí. (21-182)
124. Si las medidas de los ángulos entre una recta y dos planos son congruentes, entonces dichos planos son paralelos. (21-182)
125. Por un punto del plano se puede trazar sólo una recta perpendicular al plano. (21-182)
126. Dos rectas L₁ y L₂ son paralelas a un plano P, entonces las rectas L₁ y L₂ son rectas paralelas. (22-182)
127. Una recta es paralela a un plano P y también a otro plano Q luego P y Q son planos paralelos. (22-182)
128. Dos rectas paralelas L₁ y L₂ son paralelas a un plano P, luego el plano Q determinado por L₁ y L₂ será paralelo al plano P. (22-182)
129. Si L es una recta dada y P un plano, entonces siempre existe orto plano paralelo a P y que contiene a L. (23-182)
130. Una recta perpendicular a la intersección de dos planos perpendiculares entre sí, está siempre contenida en uno de ellos. (23-182)
131. Si dos rectas se cruzan, por una de ellas puede pasar un único plano paralelo a la otra recta. (23-182)
132. Dos rectas L₁ y L₂ son paralelas a un plano P, entonces las rectas L₁ y L₂ son rectas paralelas. (24-182)
133. Una recta es paralela a un plano P y también a otro plano Q luego P y Q son planos paralelos. (24-182)
134. Dos rectas paralelas L₁ y L₂ son paralelas a un plano P, lego el plano Q determinado por L₁ y L₂ será paralelo al plano P. (24-182)
135. Dos rectas cruzadas L₁ y L₂, El plano que es perpendicular a L₁ y  contiene a L₂. (31-182)
136. Existen infinitos planos donde las proyecciones de L₁ y L₂ sean paralelos. (31-182)
137. Un plano perpendicular a L₁ puede ser paralelo a la recta que es perpendicular a L₁ y L₂. (31-182)