Yachakaj: PRODUCTO INTERNO

miércoles, 7 de junio de 2023

PRODUCTO INTERNO

(producto interno)
(def: norma euclidiana)
(ejm 1, 2)
(def: vectores ortogonales)
(def: vectores ortonormales)
(def: conjunto ortogonal (ortonormal))
(ejm)
(teorema)
(EF)
(def: proyección ortonormal)
(desigualdad de Schwarz)
(desigualdad triangular)
(proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt)

(EF)(EF)(EF)(ES)

(ejm)
(def: espacio con producto interno)
(def: complemento ortogonal)
(proposición)
(obs 1, 2, 3)
(ejm)
(teorema)
(obs)
(def: isomería lineal)
(teorema: representación de Riesz)
()dasd

(ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERNO)
(producto interior)

(def 1: producto interno sobre v ; notación: < , > )(PC)(PC)
(obs 2)
(def 3: espacio euclídeo o euclidiano)
(def 4: espacio unitario)
(¿qué sucede cuando adjuntamos o proveemos de un producto interno a un espacio vectorial?)
(ejemplos 5)
(ejm 6)

(norma/módulo/longitud de un vector)

(def 7: norma de v asociado a < , > ; ||v|| = √(<v,v>) ; notación: ||v|| )
(proposición 8: propiedades de la norma)
(ejm 9)
(obs 10)
(ejm 11)

(distancia)

(def 12: distancia ; d(x,y) = ||x-y|| )
(proposición 13)
(obs 14)

(ángulo entre vectores)

(def: ángulo de v y w)

(matriz de un producto interno)

(def: matriz del producto interno en la base B; notación: |< , >|_B )
(obs 17)
(ejm 18)

(¿cuál es uno de los usos de la matriz de un producto interno?)

(proposición 19)

(ORTOGONALIDAD)
(conjuntos ortogonales y ortonormales)

(def 20: v, w son ortogonales ⟺ <v,w> = 0 )
(ejm 21, 22)
(teorema 23: si v y w son ortogonales ⟹ ||v||² + ||w||² = ||v+w||² )
(ejm 24)
(def 25: conjunto ortogonal: {v₁, ... v_n} es ortogonal ⟺ <v_i,v_j> = 0 )(PC)
(def 26: conjunto ortonormal: {v₁, ... v_n} es ortonormal ⟺ es ortogonal y ||v_i|| = 1 )
(proposición 27: si {v₁, ... v_n} es ortonormal con v_i ≠ 0 ⟹ es l.i. )

(base ortogonormal)

(def: B = {v₁, ... v_n} es base ortonormal ⟺ B es ortonormal )
(ejm 26)

(matriz de un producto interno en un base ortogonal)

(proposición 29: B es base ortonormal ⟺ |< , >|_B = I_n )
(proposición 30)
(corolario 31: si {v₁, ... v_n} es ortonormal ⟹ v = Σ<v,v_i>.v_i )

(ortonormalización de una base)

(ejm 32)
(proposición 33: método de ortonormalizacion de Gram-Schmidt ; todo e.v. de dimensión finita con PI tiene base ortonormal )
(corolario 34: si S es sev de V ⟹ ∃ base ortogonal de S ⊂ base ortogonal de V)
(ejm 35)
(ejm 36)(PC)

(complemento ortogonal)

(def 37: complemento ortogonal en S ; notación: S^⊥ )
(ejm 38)
(proposición 39)
(proposición 40)
(ejercicio 41)
(proposición 42: (S^⊥)^⊥ = S )
(ejm 43)

(proyección ortogonal)
(proyectores)

(def 44: f es proyector ⟺ fof = f )
(proposición 45)
(proposición 46: si f: V→V es protector ⟹ Nu(f) ⊕ Im(f) = V )
(proposición 47)
(def 48: proyección ortogonal sobre S)

(espacios vectoriales con producto interno)(producto interior)

(norma/módulo/longitud de un vector)

(distancia)

(ángulo entre vectores)

(matriz de un producto interno)

(obs 17)

(proposición 19)

(ortogonalidad)

(def 25: conjunto ortogonal)

(base ortogonal)

(matriz de un producto interno en una base ortogonal)

(ortonormalización de una base)

(proposición 3: método de ortogonalización de Gran-Schmidt)

(complemento ortogonal)

(proyección ortogonal)

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