Yachakaj: MATRICES Y DETERMINANTES (teoría + problemas)

martes, 2 de noviembre de 2021

MATRICES Y DETERMINANTES (teoría + problemas)

(matrices)

(def 1: matriz)(notación)
(def 2: orden de una matriz)(obs)
(def 3: igualdad de matrices)
(operaciones con matrices)

(def 4: suma de matrices)
(def 5: matriz por un escalar, def 6: resta de matrices)
(def 7: multiplicación de matrices)(ejm)

(PC)

(def 8: matriz nula)
(EP)

(álgebra de matrices)

(propiedad 1: matrices y escalares)(demostración)

(obs: de matriz nula)

(def 9: matriz transpuesta)

(propiedad 2: propiedades de transpuesta, demostración)

(def 10: matriz cuadrada)
(def 11: diagonal principal de una matriz cuadrada)
(def 12: traza de una matriz cuadrada)

(EP)
(PD)

(PD)

(transpuesta y traza)

(tipos de matrices)

(def 13: matriz diagonal, notación, ejm)
(def 14: matriz escalar, notación, ejm)
(def 15: matriz identidad, notación, ejm, propiedad 3)
(def 16: matriz simétrica, notación, ejm)
(def 17: matriz antisimétrica, notación, ejm, obs)
(def 18: matriz triangular inferior, notación, ejm)
(def 19: matriz triangular superior, notación, ejm)
(def 20: matriz idempotente, ejm, propiedad 4)
(def 21: matriz involutiva, ejm)
(def 22: matriz nilpotente, ejm)

(PC)

(def 23: matriz periódica, ejm, obs)(ejm)(ejm)
(probs)

(PC)

(matriz por bloques)

(def 1: matriz por bloques)(ejm)
(tipos de matrices por bloques)

(matriz diagonal por bloques superior e inferior)

(álgebra de matrices por bloques)(ejm)(ejm)
(propiedades)(ejm)
(PD)12, 13, 17, 19, , 22, 25, 26

(matrices elementales)

(operaciones elementales: OEF; IOEF, obs)(ejm)
(def: matriz elemental E)
(teorema 1)(ejm)
(inversa de una matriz elemental)
(matrices equivalentes)
(PD)3, 5, 7, 8

(forma escalonada)

(forma escalonada de una matriz REF)
(forma escalonada reducida de una matriz RREF)

(teorema 2)(ejm)
(PC)

(rango de una matriz)

(def 2 rango de una matriz)(ejm)(ejm)
(propiedades)
(PC)

(matrices invertibles)

(unicidad)

(def 1: inversa de una matriz)(ejm)
(teorema 1: la inversa es única)
(teorema 2: AB=BA=I)
(probs PC)

(pc)(demostrar)
(pc)(cálculo)

(relación entre rango de una matriz y su inversa)

(teorema 3: criterio de la invertibilidad de una matriz cuadrada en términos de su rango)
(teorema 4: m. invertible es equivalente por filas a In)(ejm)
(obs)

(algoritmo para el cálculo de la matriz inversa)(ejm)

(probs PC)

(teorema 5: propiedades de las matrices invertibles)(ejm)(ejm)
(def 2: matriz ortogonal)
(probs)

(probs PD)10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
(probs PC)

(aplicación)

(conceptos básicos de criptografía)
(criptografía en matrices invertibles)(ejm)
(PC)
(PD), 17

(grafo)

(def 1: grafo)(ejm)
(def 2: matriz adyacente)(ejm)

(obs)

(proposición 1: potencia de una matriz adyacente)

(determinante de una matriz)()

(permutaciones)

(def 3: permutación de n)
(def 4)(ejm)

(definición axiomática de los determinantes)

(def 5: determinante)
(obs, ejm)(ejm)

(propiedades)()

(teorema 1: |A| = |A^T|)(teorema 2: |A| = 0)
(teorema 3: m. triangular sup o inf → |A| = producto diagonal princ.)
(teorema 4)
(teorema 5: matriz elemental)

(lema 1: |AE| = |A||E|, teorema 6: |A^-1| = |A|^-1)

(teorema 7: |AB| = |A||B|, teorema 8)(ejm)(ejm)(ejm)

(PC)

(invertibilidad y determinante)
(PC)
(PC)

(menor y factor)()

(def 1. menor)
(def 2: cofactor, obs)(ejm)

(expansión de Laplace)

(def 3: expansión por cofactores)(ejm)
(teorema 1: expansión de Laplace)(ejm)

(obs)

(propiedad 1)

(matriz adjunta)

(def 4: matriz de cofactores)
(def 5: matriz adjunta)(ejm)(ejm)
(teorema 2: A.adj(A) = |A|I_n)(obs)
(def 6: matriz singular)
(propiedad 2)

(relación entre la adjunta y la inversa)

(teorema 3: A^-1 = adj(A)/|A|)(ejm)(PC)
(teorema 4)(propiedad 3)(ejm)
(PC)

(determinante de matriz por bloques)

(teorema 5: determinante de matriz triangular superior por bloques)(ejm)
(corolario 1: determinante de matriz triangular inferior por bloques)

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