Yachakaj: TRASFORMACIONES LINEALES

(def: transformación lineal)(ejm)
(teorema: teorema fundamental)
(def: matriz asociada a una transformación lineal)(ejm)
(def: producto)(ejm)
(def: núcleo e imagen)(ejm)
(def: sobreyectiva e inyectiva)
(teorema: de la inyectividad y el núcleo)
(teorema del núcleo e imagen)(ejm)
(corolario)(ejm)
(def: proyección)
(función lineal)(ejm 1, 2)
(propiedad)(ejm)
(función lineal)(ejm)
(def: anulador)
(teorema)
(def: idempotente e involución)
(def: hyperspace)(ejm)
(corolario)
(corolario)
(ejm)
(def: bidual)
(teorema)
(transpuesta de una matriz)
(teorema)
(matriz de una transformación lineal)
(teorema)
(propiedad)
(cambio de base)
(obs)
(cálculo del rango de una TL)
(resolución del sistema de ecuaciones lineales)

. Unidad 2. Transformación lineal. (PC)(PC)
Núcleo e Imagen. (PC)(PC)
Teorema de extensión por linealidad. ( T(vi) = wi ).
Teorema del núcleo e imagen.
Teorema fundamental de las transformaciones lineales.

(def)
(teorema)
(corolario)
(proposición)

Espacio de las transformaciones lineales. (PC)X
(caracterización).
Proyecciones.
------------------------------------------------------------
(transformación lineal)

(def 1: transformación lineal)
(obs 2: las TL preservan combinacionales lineales)
(ejm 3)
(otros ejemplos)

(propiedades de TL)

(proposición 4)
(proposición 5: las TL respetan la estructura de subespacios)

(clasificación de las TL)

(def 6: monomorfismo, epimorfismo, isomorfimos, endomorfismo, automorfismo)
(ejm 7)(video)

(núcleo e imagen de las TL)

(núcleo de una TL)

(def 8: núcleo o kernel de una TL; notación Nu(f) ó Ker(f))
(obs 9)
(ejm 10)
(obs 11)

(propiedades del núcleo)

(proposición 12: el núcleo es un subespacio; Nu(f) < V )

(imagen de una TL)

(def 13: imagen de una TL; notación: I(f) ó Im(f))
(obs 14)
(ejm 15)

(propiedades de la imagen)

(proposición 16: la imagen es un subepsacio; Im(f) < W )

(núcleo de un monomorfismo)

(proposición 17: f es inyectiva ⟺ Nu(f)={0})(EP)
(proposición 18: relación con li o ld)

(teorema del núcleo e imagen)

(teorema 19: dim(Nu(f)) + dim(Im(f)) = dim(V))
(corolario 20)
(obs 21)
(EP)

(coordenadas de un vector en una base)

(def 22: coordenadas o componentes; notación [v]_B)
(obs 23)
(PC)

(teorema fundamental de las TL)

(teorema 24: f(v_i) = w_i)
(¿qué nos dice el teorema anterior?)

(matriz asociada a una TL)

(def 25: matriz f en las bases B₁ y B₂; notación: |f|_B₁B₂)
(obs 26)
(obs: ¿cómo hallar la matriz de una TL respecto de una base en cada espacio?)
(ejm 27)
(obs 28)

(composición de TL)

(def 28: compuesta; conceptos: inversa)
(proposición 29: si T es isoforma ⟹ T^-1 es isoforma)

(espacio vectorial de las TL)

(def 30: conjunto de las TL de V en W; notación: L(V,W) o Hom(V,W))
(proposición 31)
(proposición 32)
(PC)

(proyecciones)

(def 33)
(proposición 34: propiedades)
(proposición 35: T es proyección ⟺ T²=T)
(proposición 36)
(def 37: subespacio invariante)
(proposición 38)
(proposición 39: T es involución ⟹ ∃P, T=2P-I)

------------------------------------------------
Funcionales lineales.

(proposición)
(def)
(lema)
(proposición)
(proposición)

Espacio dual.

(teorema: separación de un punto y un subespacio por medio de una función lineal)
(corolario)(corolario)
(proposición)
(proposición)(corolario)
(proposición)

Base dual. (PC)
Espacio bidual.

(lema)
(teorema: del isomorfismo canónico del espacio dual al inicial)

Anulador de un subespacio.

(def)
(proposición)(ejm)
(proposición)(ejm)
(ejercicio tarea)

Transpuesta de una transformación lineal.

(proposición)

----------------------------------------------------
(espacio dual de un espacio vectorial)

(def 40: espacio dual de un espacio vectorial; notación: V*)
(obs 41)
(proposición 42: dim(V) = dim(V*))
(ejm 43)
(obs 44)
(video)

(base dual, notación: B*)

(proposición 45)
(ejm 46)
(ejm 47)
(obs 48)

(¿es posible calcular fácilmente las coordenadas de un elemento de V utilizando a la base B*?)
(¿es posible calcular fácilmente las coordenadas de un elemento de V* utilizando a la base B?)

(ejm 49)
(proposición 50)
(PC)(PC)(EP)(EP)

(anulador)

(def 51: anulador de S; notación: S°)
(proposición 52)
(proposición 53)
(ejm 54)
(PC)(PC)(PC)

(¿cómo recuperar un subespacio a partir de su anulador?)

(proposición 55)
(obs 56)
(PC)

(¿cómo se comporta el anulador con la suma y la intersección de subespacio?)

(proposición 57)

(transpuestas de una TL)

(def: 29: tranpuestas de una TL; notación: T')
(propiedades de la transpuesta de una TL)
(proposición 30)

---------------------------------------------------
Unidad 3. Matrices.
Operaciones elementales.
Matrices elementales, propiedades.
Matriz escalonada reducida.
Espacio fila.
Equivalencia por filas, propiedades.
Matriz asociada a una transformación lineal.
Matriz asociada a la composición.
Matriz asociada a la transpuesta de una transformación lineal.
Matriz de cambio de base, propiedades.
Relación entre matrices asociadas a una misma transformación. (PC)X(PC)X
-----------------------------------------------------
(matrices)

(def 1: matrices)
(obs 2)
(def 3: matrices canónicas de Kmxm)
(ejm 4)
(def 5: matrices iguales)
(def 6: operaciones de matrices)

(producto de matrices)

(def 7: producto de matrices)
(obs 8)
(ejm 9, 10)
(proposicón 11: propiedades del producto de matrices)

(matriz identidad)

(def 12: matriz identidad de orden n)
(obs 13)

(anillo de las matrices cuadradas)

(proposición 14)
(obs 15)

(álgebra de matrices cuadradas)

(def 16: k-álgebra)
(proposición 17)

(trasposición de matrices)

(def 18: traspuesta de una matriz)
(ejm 19)
(obs 20)
(proposición 21)
(proposición 22: (A.B)^T = B^T.A^T )
(def 23: traza de una matriz)

(matrices invertibles)

(def 24: matriz inversible)(PC)
(def 25: conjunto de matrices inversibles; notación: GL(n,k) )
(proposición 26: propiedades de GL(n,k))
(proposición/definición 27: grupo lineal general (n,k) )

(matrices simétricas y antisimétricas)

(def 28: simétrico)
(ejm 29)
(def 30)
(ejm 31)

(propiedades de las matrices simétricas y antisimétricas)
(matrices triangulares)

(def 32: triangular superior)
(def 33: triangular inferior)
(proposición 34)

(matrices diagonales)

(def 35: diagonal)
(ejm 36)
(notación)
(obs 37: matriz escalar A=aI)

(matrices idempotentes e involutivas)

(def 38: idempotente, involutiva)
(ejm 39)
(propiedades)

(matrices hermitianas)

(def 40: matrices complejas)
(def 41: matriz compleja conjugada)
(ejm 42)
(propiedad 43)
(def 44)
(def 45: matriz hermitiana)
(ejm 46)

(matriz asociada a la composición de TL)

(obs 47)
(proposición 48: [T(v)]_B₂ = C(B₁,B₂).[v]_B₁ )
(matriz asociada a la composición de TL)

(rango de una matriz)

(def 49: rango columna)
(obs 50)
(proposición 51)
(ejm 52)
(def 53: rango fila)
(obs 54)

(matrices elementales)

(def 55: operaciones elementales)
(ejm 56)
(obs)

(cálculo de la inversa mediante operaciones elementales (fila))

(ejm 59)
(proposición 60: A es invertible ⟺ sus vectores columna son l.i. )
(proposición 61: A es invertible ⟺ sus vectores fila son l.i. )

(más sobre el rango de una matriz)

(def 62: espacio columna de una matriz; notación S_C)
(def 63: rango columna; notación rg_C)
(obs 64)
(def 65: espacio fila; notación S_F)
(def: 66: rango fila; notación rg_F)
(obs 67)
(teorema 68: rgF(A) = rgC(A) )
(def 69: rango de una matriz)
(proposición 70: rg(A) = rg(AT) )
(proposición 71 rg(I) = n )
(proposición 72: rg(A.B) <= min{rg(A), rg(B)} )
(proposición 73)
(proposición 74)
(obs 75)
(ejm 76)

(matriz escalonada reducida)

(def 77: escalonada reducida)
(ejm 78)
(proposición 79)
(corolario 80)

(equivalencia de matrices)

(def 81: equivalencia de matrices; notación: ~)
(obs 82)(PC)
(proposición 83: A~B ⟺ rang(A) = rang(B) )
(proposición 84: A~B ⟺ A = |f|_B₁B₂ y B = |f|_B₁^'B₂^' )(PC)

(particiones y relaciones de equivalencia)

(def: conjuntos disjuntos)
(def: partición y célula)
(notación de célula)
(ejm)
(def: relación de equivalencia)
(proposición)

(equivalencia por filas)

(def 85: equivalentes por filas)
(obs 86)
(proposición 87, 88, 89, 90, 91, 92)
(corolario 93)
(def 94: forma canónica de hermite de una matriz)
(def 95: base canónica de SF)
(ejm 96)

(base canónica)

(ejercicio 97)
(ejm 98)

(coordenadas de un vector y cambios de base)

(recordando coordenadas)
(ejm 99)
(def 100: matriz cambio de base; notación C(B₁, B₂) )
(obs 101)
(ejm 102)
(EP)(EP)(PC)(PC)(PC)(PC)
(proposición 103: [v]_B₂ = C(B₁,B₂).[v]_B₁ )
(ejm)
(obs)
(EP)
(dada dos bases B1, B2 , la matriz C(B1,B2) transforma. coord. en la base B1 en coord. en la base B2 ¿existirá otra matriz con esta propiedad?)

(transformación lineal y sus matrices en diferentes bases)

(¿como obtener |f|_{(B₁)^'(B₂)^'} a partir de |f|_B₁B₂?)

(proposición 103: |f|_B₁^'B₂^' = C(B₂, B₂^').|f|_B₁B₂.C(B₁^', B₁) o P_B₁B₃=P_B₁B₂.P_B₂B₃ )(PC)(PC)(PC)

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Sistemas de ecuaciones lineales.
Sistemas equivalentes.
Rango de una matriz.
Sistemas homogéneos.
Existencia y unicidad de soluciones.
--------------------------------
(sistema de ecuaciones lineales)

(def 1: sistema de ecuaciones)
(obs 2)
(def 3: solución de un sistema de ecuaciones)
(def 4: sistema lineal homogéneo)
(obs 5: ¿cúal es el mejor y más natural método de resolver sistemas de ecuaciones?)
(def 6: sistema de ecuaciones equivalentes)
(def 7)
(ejm 8)
(def 9: rango de una matriz)
(proposición 10)