Yachakaj

martes, 6 de enero de 2026

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

asdasd

lunes, 29 de diciembre de 2025

CM2A1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AVANZADO

(Prácticas calificadas y exámenes)
(Bibliografía)

(Apostol, Tom “Calculus”, Volúmen 2, Segunda Edición; Editorial Reverté, S.A., 1997.)
(Haaser, La Salle Sullivan, Análisis Matemático, Vol. 2, Edit. Trillas.)
(Claudio Pita, Cálculo Vectorial, Primera Edición; Editorial Prentice Hall.)
(Marsden J., Tromba A., Cálculo Vectorial, Quinta Edición; Editorial Pearson.)
(Thomas, Cálculo varias variables, 13 Edición; Editorial Pearson, 2015.)

III. Funciones Vectoriales de una Variable Real.
IV. Funciones Reales de Varias Variables.
V. Funciones Vectoriales de Variables Vectoriales.
VI. Integrales Múltiples
VII. Integrales de Líneas
VIII. Integrales de Superficies.
1. III. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL. / 14 HORAS
Definición de una función vectorial de variable real f: A → ℝn , A ⊂ ℝ, gráfica del rango de f y gráfica de f. Operaciones con funciones.
Límites. Definición. Propiedades. Continuidad Propiedades. Definición de curva C: r:I → ℝn . Derivada. Vector tangente. Teoremas sobre la derivada. La diferenciabilidad. Integración. Propiedades. Longitud de arco. Curva Rectificable. Fórmula integral de la longitud de arco. Curvas parametrizadas. Curvas regulares. Reparametrización de curvas. La longitud de arco como parametrización. Cambio admisible de parámetro. Vector tangente, normal, binormal (y sus unitarios). Plano osculador. Plano normal. Triedo Móvil. Curvatura. Radio de curvatura. Centro de curvatura. Torsión. Fórmulas de Frenet.
2. IV. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE VECTORIAL. / 18 HORAS
Definición de función real de varias variables f: A → , ℝ A ⊂ ℝn . Gráficas y rangos. Curvas de nivel, superficies de nivel. Operaciones sobre funciones. Superficies cuadráticas, superficies cilíndricas y superficies regladas. Limites: Propiedades. Continuidad: Propiedades. Teorema del valor intermedio. Teorema de Weierstrass f: K → ℝ, K ⊂ ℝn compacto. Máximo y mínimo. Derivadas direccionales: Significado geométrico. Teorema de valor medio. Derivada parcial. Propiedades. Diferenciabilidad. Propiedades. Teorema de valor medio. Vector gradiente. Condición suficiente de diferenciabilidad. Regla de la cadena. Plano tangente y recta normal. Razón de cambio máximo. Funciones implícitas. Teorema de la función implícita. Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Taylor. Máximos y mínimos relativos y absolutos. Criterio de las derivadas parciales (primera derivada y segunda derivada).
3. V. FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLES VECTORIALES. / 12 HORAS
Transformaciones de ℝn a ℝm. Transformaciones afines de Rn . Limite. Definición: Propiedades. Continuidad: Propiedades. La derivada y la diferencial. Propiedades. Funciones de clase C^k . Regla de la cadena. Transformaciones en coordenadas polares (r,θ) . Transformaciones cilíndricas (r, θ,z) y transformaciones esféricas (ρ,θ,φ) . Matriz Jacobiana. Transformaciones con Jacobianos no nulos. Teorema de la función inversa. Interpretación geométrica. Teorema de la función implícita.
4. VI. INTEGRALES MÚLTIPLES. / 18 HORAS
Integrales dobles de una función acotada sobre un rectángulo en R2 . Funciones integrales. Propiedades básicas de ∫∫[ a,b] f Integral doble de una función acotada sobre un rectángulo en R2 . Propiedades. Evaluación de una integral doble por integrales iteradas: sobre un rectángulo y sobre una región acotada de R2 . Cambio de variables para integrales dobles. Integrales dobles en coordenadas polares. Cálculo de áreas y volúmenes bajo una superficie y volúmenes de revolución. Integrales triples. Integral triple sobre un rectángulo y sobre un conjunto acotado en R3 . Propiedades. Evaluación de una integral por integrales iteradas. Cambio de variables para integrales triples. Volumen. Integrales triples en coordenadas cilíndricas. Integrales triples en coordenadas esféricas.
5. VII. INTEGRALES DE LÍNEAS. / 10 HORAS
Integral de línea primer tipo (Integral de línea con respecto a la longitud de arco). Aplicaciones. Centro de gravedad. Integral de línea de segundo tipo. Propiedades. Comportamiento de una integral de línea frente a un cambio de parámetro. El trabajo como integral de línea. Región simplemente conexo. Región múltiplemente conexo. Teorema de Green. Aplicaciones. Independencia del camino. Teoremas fundamentales del cálculo para integrales de línea. Condiciones necesarias y suficientes para que un campo vectorial sea un campo gradiente. Condiciones necesarias para que un campo vectorial sea un campo gradiente. Construcción de funciones potenciales.
6. VIII. INTEGRALES DE SUPERFICIES. / 12 HORAS
Superficies paramétricas. Plano tangente. Plano normal. Producto vectorial fundamental. Área de una superficie paramétrica. Integral de superficie de primer tipo (Integral de Campos escalares sobre superficies). Significado físico. Superficies orientables. Integral de superficies de segundo tipo (Integrales de campos vectoriales sobre superficies). Teorema de Stokes. El rotacional y la divergencia de un campo vectorial. Propiedades. Teorema de Gauss (Teorema de la Divergencia). Aplicaciones.